古希腊数学成就
随着希腊帝国开始将其势力范围扩展到小亚细亚，美索不达米亚及其他地区，希腊人足够聪明，可以从他们征服的社会中吸收和适应有用的元素。他们的数学和其他任何东西一样都是如此，他们从巴比伦人和埃及人那里吸收了数学元素。但他们很快就开始以自己的方式作出重要贡献，而且我们第一次可以承认个人的贡献。到了希腊化时期，希腊人主持了有史以来最戏剧化、最重要的数学思想革命之一。
阁楼或希罗底数字
古希腊数字系统，被称为阁楼或希罗底数字，在公元前450年左右完全发展起来，并且可能早在公元前7世纪就经常使用。这是一个以10为基数的系统，类似于早期的埃及系统（甚至更类似于后来的罗马系统），其中1，5，10，50，100，500和1，000的符号重复了多次以表示所需的数字。加法是通过分别对要加的数字中的符号（1s，10s，100s等）进行求和来完成的，而乘法是基于连续加倍的费力过程（除法是基于此过程的逆）。
泰勒斯截距定理
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泰雷兹截距定理 |
但大多数希腊数学都是基于几何学的。泰勒斯是古希腊七贤之一，在公元前6世纪上半叶居住在小亚细亚的爱奥尼亚海岸，通常被认为是第一个为几何学的抽象发展制定指导方针的人，尽管我们对他的作品（如相似和直角三角形）的了解现在似乎相当基本。
然而，在某种程度上，公元前6世纪数学家毕达哥拉斯的传说已经成为希腊数学诞生的代名词。事实上，据信他创造了“哲学”和“数学”这两个词。毕达哥拉斯也许是第一个意识到可以构建一个完整的数学系统的人，其中几何元素与数字相对应。毕达哥拉斯定理（或毕达哥拉斯定理）是所有数学定理中最着名的定理之一。但是，正如我们将看到的，他仍然是一个有争议的人物，希腊数学绝不仅限于一个人。
三个几何问题
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三个经典问题 |
特别是三个几何问题，通常被称为三个经典问题，并且所有问题都可以通过仅使用直边和指南针的纯几何方法来解决，可以追溯到希腊几何学的早期：“圆的平方（或正交），”立方体的加倍（或复制）“和”角度的三截面“。这些顽固的问题对未来的几何学产生了深远的影响，并导致了许多富有成效的发现，尽管它们的实际解决方案（或者，事实证明，它们不可能性的证据）不得不等到19世纪。
芝诺悖论的阿喀琉斯和
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芝诺悖论的阿喀琉斯和 |
正是希腊人首先解决了无限的概念，例如公元前5世纪归因于哲学家埃利亚的芝诺的着名悖论。他最著名的悖论是阿喀琉斯和，它描述了阿喀琉斯和之间的理论竞赛。阿喀琉斯让速度慢得多的领先一步，但当阿喀琉斯到达的起点时，已经向前移动了。当阿喀琉斯到达那个点时，又继续前进了，等等，所以原则上，快速的阿喀琉斯永远无法赶上缓慢的。
像这个悖论和芝诺所谓的二分法悖论是基于空间和时间的无限可分性，并且基于这样一种想法，即一半加四分之一加八分之一加十六分之一，等等，到无穷大永远不会完全等于一个整体。然而，悖论源于一个错误的假设，即不可能在有限的时间内完成无限数量的离散破折号，尽管很难明确证明谬误。古希腊人亚里士多德是许多人中第一个试图反驳悖论的人，特别是因为他坚信无限只能是潜在的，而不是真实的。
然而，毕达哥拉斯确实极大地影响了他之后的人，包括柏拉图，他于公元前387年在雅典建立了着名的学院，以及他的门生亚里士多德，他在逻辑方面的工作被认为是两千多年的权威。数学家柏拉图最出名的是他对五个柏拉图固体的描述，但他作为数学教师和推广者的工作的价值怎么强调都不为过。
柏拉图的学生尤多克斯·克尼杜斯（Eudoxus of Cnidus）通常被认为是“穷竭方法”（后来由阿基米德开发）的第一个实现者，这是一种早期的逐次近似积分方法，他用它来计算金字塔和圆锥体的体积。他还发展了一种一般的比例理论，该理论适用于不能表示为两个整数的比率的不可比（无理）量级，以及可比较的（有理数）量级，从而扩展了毕达哥拉斯的不完整思想。
然而，也许希腊人最重要的贡献——毕达哥拉斯、柏拉图和亚里士多德在这方面都有影响力——是证明的概念，以及使用逻辑步骤来证明或反驳最初假设公理的定理的演绎方法。较古老的文化，如埃及人和巴比伦人，一直依赖归纳推理，即使用重复的观察来建立经验法则。正是这种证明的概念赋予了数学力量，并确保经过验证的理论今天与两千年前一样真实，并为欧几里得及其后人的数学系统方法奠定了基础。
到公元前3世纪，在亚历山大大帝征服之后，希腊希腊化帝国的边缘也开始取得数学上的突破。
特别是，埃及的亚历山大在托勒密的仁慈统治下成为一个伟大的学习中心，其着名的图书馆很快获得了与雅典学院相媲美的声誉。图书馆的赞助人可以说是第一批专业科学家，他们为研究的奉献精神付出了代价。在亚历山大学习和教学的最着名和最有影响力的数学家包括欧几里得，阿基米德，埃拉托斯特尼，赫伦，梅内劳斯和丢番图斯。
在公元前4世纪末和3世纪初，欧几里得是当时数学的伟大编年史家，也是历史上最有影响力的教师之一。他实际上发明了我们所知道的经典（欧几里得）几何。阿基米德一生中的大部分时间都在西西里岛的锡拉丘兹度过，但也在亚历山大学习了一段时间。他也许最出名的是工程师和发明家，但鉴于最近的发现，他现在被认为是有史以来最伟大的纯数学家之一。亚历山大的埃拉托斯特尼是公元前3世纪阿基米德的近代人物。作为一名数学家、天文学家和地理学家，他设计了第一个经纬度系统，并以极高的精确度计算了地球的周长。作为一名数学家，他最大的遗产是用于识别素数的“埃拉托斯特尼筛子”算法。
球形三角形
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亚历山大的梅内劳斯引入了球形三角形的概念
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亚历山大的梅内劳斯生活在公元1世纪至2世纪，是第一个认识到曲面上的测地线是平面上直线的自然类似物的人。他的书“Sphaerica”讨论了球体的几何形状及其在天文测量和计算中的应用，并介绍了球面三角形的概念（由三个大圆弧组成的图形，他将其命名为“三边”）。
在公元3世纪，亚历山大的丢番图是第一个将分数视为数字的人，并且被认为是后来被称为代数领域的早期创新者。他将自己应用于一些相当复杂的代数问题，包括现在所谓的丢番图分析，它涉及寻找导致几个未知方程（丢番图方程）的各种问题的整数解。丢番图的“算术”（Arithmetica）是给出确定方程和不确定方程数值解的问题的集合，是所有希腊数学中代数最突出的工作，他的问题在接下来的两千年的大部分时间里都在世界上许多最好的数学家的头脑中锻炼。
阿波罗尼乌斯的圆锥形部分
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阿波罗尼乌斯的圆锥形部分
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但亚历山大并不是希腊化希腊帝国唯一的学习中心。还应该提到佩尔加的阿波罗尼乌斯（Apollonius of Perga，现代土耳其南部的一个城市），他在公元前3世纪后期在几何学（特别是圆锥和圆锥截面）方面的工作对后来的欧洲数学家产生了很大的影响。正是阿波罗尼乌斯给椭圆、抛物线和双曲线起了我们认识它们的名字，并展示了它们如何通过圆锥体从不同的截面推导出来。
喜帕恰斯也来自希腊化的安纳托利亚，生活在公元前2世纪，也许是所有古代天文学家中最伟大的。他恢复了最初由迦勒底人和巴比伦人开发的算术技术的使用，并且通常被认为是三角学的开端。他通过测量在不同位置可见的月球不同部分并使用三角形的属性计算距离来计算（当时非常精确地）月球与地球的距离。他接着创建了第一个和弦表（对应于三角形不同角度的边长）。然而，到公元2世纪伟大的亚历山大天文学家托勒密（Ptolemy）的时代，希腊人对数值程序的掌握已经发展到托勒密能够在他的“Almagest”中包括一个圆圈中的三角和弦表，其步长为1/4°，（尽管以巴比伦风格以六对称方式表示）精确到小数点后五位左右。
然而，到公元前1世纪中叶及以后，罗马人加强了对旧希腊帝国的控制。罗马人对纯数学没有用处，只有对它的实际应用，而随之而来的基督教政权更是如此。对亚历山大的希腊化数学遗产的最后一击，可以从希帕蒂娅（Hypatia）的形象中看到，她是第一位有记录的女数学家，也是一位著名的老师，他写了一些关于丢番图斯和阿波罗尼乌斯的受人尊敬的评论。她在公元415年被一群基督教暴徒拖拽致死。